삼각비의 기초 : 직각삼각형
모든 삼각비의 논의는 직각삼각형에서 시작됩니다. 직각삼각형은 한 각이 90도인 삼각형으로, 각 변은 기준각()에 따라 다음과 같이 불립니다.
- 빗변 (Hypotenuse) : 직각과 마주보는 가장 긴 변입니다.
- 높이 (Opposite) : 기준각과 마주보는 변입니다.
- 밑변 (Adjacent) : 기준각에 붙어있는 변 중 빗변이 아닌 변입니다.
이를 바탕으로 세 가지 기본 삼각비는 두 변의 비율로 정의됩니다.
- 사인 :
- 코사인 :
- 탄젠트 :
이 비율은 삼각형의 크기와 상관없이 각도()가 같다면 항상 일정합니다.
단위 방향 벡터의 이해 (핵심)
여기서 "단위 방향 벡터"라는 중요한 개념이 등장합니다. 이 개념을 이해하기 위해 단위원(Unit Circle)을 알아야 합니다.
- 벡터(Vector) : 크기와 방향을 모두 가진 값입니다. 예를 들어 '동쪽으로 5km/h'는 벡터입니다.
- 단위 원(Unit Circle) : 좌표 평면의 원점(0, 0)에 중심을 두고, 반지름의 크기가 1인 원입니다.
- 단위 벡터(Unit Vector) : 크기가 정확히 1인 벡터를 의미합니다. '단위'라는 말은 기준이 되는 '1'을 의미합니다.
이제 이 단위원 위에 삼각비를 적용해 보겠습니다.
- 원점에서부터 특정 각도 로 선을 그어 원과 만나는 점 P(0.866, 0.500)가 있다고 가정합시다.
- 이 점 P에서 X축에 수선을 내리면 직각삼각형이 만들어집니다.
- 이 삼각형의 빗변은 원의 반지름이므로 그 길이는 항상 1입니다.
- 이때 삼각비 정의에 따라 cos(θ) = 밑변 / 빗변 = 밑변 / 1 = 밑변 이 되고, sin(θ) = 높이 / 빗변 = 높이 / 1 = 높이 가 됩니다.
- 즉, 점 P의 좌표는 (밑변, 높이) 이므로 (cosθ, sinθ) 가 됩니다.
결론적으로, 단위 방향 벡터란 크기가 1이며 특정 방향을 가리키는 벡터를 의미하며, 이는 각도 에 대한 (cosθ, sinθ) 값으로 완벽하게 표현됩니다. 이 벡터는 순수하게 '방향' 정보만을 담고 있어 계산에 매우 유용합니다.
탄젠트(Tan)와 역함수(Atan2)의 역할
탄젠트는 tan(θ) = 높이 / 밑변 이므로, 단위원 위에서는 sin(θ) / cos(θ) 와 같습니다. 이는 원점에서 점 P를 잇는 직선의 기울기를 의미합니다.
하지만 실제 활용에서는 탄젠트 자체보다 역함수인 아크탄젠트(Atan2)가 더 중요하게 사용됩니다.
- sin, cos: 각도 방향 벡터 (x, y)
- Atan2: 방향 벡터 (x, y) 각도
Atan2(y, x) 함수는 원점과 특정 좌표 (x, y)를 잇는 직선의 각도를 계산해 줍니다. 즉, 방향을 알고 있을 때 그 방향이 몇 도인지를 알아내는 역할을 합니다.
최종 요약
- Sin과 Cos는 특정 각도가 주어졌을 때, 그 방향을 나타내는 크기 1의 단위 방향 벡터 (x, y)를 구하기 위해 사용됩니다.
- Atan2는 반대로 특정 방향 벡터 (x, y)가 주어졌을 때, 그것이 가리키는 각도를 구하기 위해 사용됩니다.
결국 삼각함수는 '각도'와 '방향'이라는 두 개념을 서로 자유자재로 변환해주는 핵심적인 수학 도구라고 할 수 있습니다.
계산 예시
세 변의 길이가 각각 3, 4, 5인 직각삼각형을 가정한다.
위 그림에서 각 A를 기준으로 각 삼각비의 값은 다음과 같다.
- 빗변 = 5
- 높이 = 3
- 밑변 = 4
계산 결과는 아래와 같다.
- sin A = 3 / 5 = 0.6
- cos A = 4 / 5 = 0.8
- tan A = 3 / 4 = 0.75
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